Правильно: Северная и Южная Америка.
Верно: Северная и Южная Америка.
Корректно: ...не открою Америку.
Верно: пол Северной Америки.
Корректно: не открою Америку.
Это сочетание как географический термин должно писаться с большой буквы: Северная Калифорния.
Склоняются обе части прозвища.