Да, такое слово существует (краткая форма от сверенный).
Нет, выражение «сверить часы» не берется в кавычки, поскольку оно является устойчивым сочетанием
Конструкция не соответствует грамматическим нормам русского языка. Можем предположить либо опечатку (нужно сверить с печатными источниками), либо "языковые игры" Андрея Белого.
Оба варианта являются правильными. Смысловые нюансы, различающие выражения, предопределяются авторским замыслом, а его можно сверить со словарными толкованиями глаголов исполнить и выполнить.
Знаки препинания расставлены правильно.