Корректно: политологи ломают голову.
Возможны оба варианта (с учетом контекстных различий).
Оба варианта верны.
Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.
Корректно: положить на го́лову.
Корректно: кружить голову кому-либо.
Запятая ставится.