Если "не остыла" степь, то исправление верно. Если "не остыл" ветер (теплый!), то верен авторский вариант.
Корректно написание строчными буквами.
Нет, это однородные подлежащие. К ним относится обобщающее слово всё.
По степи, не успевший остыть за ночь, тянется теплый ветер.
Правильно: под Николаевом (если речь о городе Николаев).
Требуется обособление. Определительный оборот выделяется запятыми, если он отделен от определяемого слова другими членами предложения.
В этом случае всё — частица, ещё — наречие.
Правильное написание: стелЕтся.