Правильно: Пушкинский заповедник.
Название заповедника Столбы в кавычки не заключается.
Да, тире необходимо.
Правильно: государственный музей-заповедник (прилагательное государственный относится к обеим частям наименования "музей-заповедник").
Да, Вы правы. Кавычки уместны.
Корректно: заповедник «Три столба», «Томские стоянки».
Археологический заповедник, названный по географическому объекту, должен сохранить написание исходного названия. Если слово могила (как местный термин) входит в название географического объекта, то оно записывается с прописной буквы (подробнее об этом см. в правилах употребления прописных и строчных букв в географических названиях, § 1). Таким образом, написание названия заповедника с двумя прописными буквами обоснованно.