Это название следует писать с большой (прописной) буквы.
Им. п. мн. ч. слова люк - люки.
Правильно: на берегу реки Клязьмы. Обратите внимание: сочетание раскинувшийся символ неудачно.
Правильно: двое брюк (о двух предметах одежды); две пары брюк – о четырех предметах одежды, составляющих два парных сочетания.
Вариант барнаулка в значении 'жительница Барнаула' зафиксирован словарями русского языка. См., например: Колесников Н. П. Толковый словарь названий женщин. М., 2002.
Корректно: диагноз рак (нет знаков препинания между определяемым словом и приложением); Диагноз - рак (тире ставится между подлежащим и сказуемым).
Корректно: на берегу реки Упы.