Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Корректно: в ресторане на "Розе Хутор" (на курорте).
Фраза не вполне ясна. Возможно, ее следует перестроить, и слова в своем роде обособляться не будут: США оказались в своем роде заложниками ситуации.
Женская фамилия Чубара склоняется (и мужская тоже).
Да, мужская фамилия склоняется.
См. рекомендации в Письмовнике.
Склоняется и мужская, и женская фамилия.
Если это фамилия славянского происхождения, то ее женский вариант — Куцына (ср. Куницын — Куницына). Однако возможен и случай, когда подобных фамилиях невозможно выделить суффикс -ын, и тогда они не изменяются: Иван Куцын и Марья Куцын.