Возможны варианты: коми песни, коми блюда и песни коми, блюда коми. Вариант коми песни, коми блюда не является ошибочным, потому что слово коми может употребляться не только как существительное в значении 'народ', но и как неизменяемое прилагательное в значении 'принадлежащий этому народу'.
Если речь идет о самоназвании цыган, следует употреблять вариант рома.
Нужно писать раздельно: профильно ориентированный вуз.
Верно: Кот просил мяса.
Возможны варианты: прОжил и прожИл. Ударение можно проверить в окне «Искать на Грамоте», набрав прожить.
Допустимо: допил и допил.
Правильно: играет Робин Гуда.