Верно: новогодние и рождественские праздники.

Корректно написание со строчной буквы.

Слово Рождественский пишется с большой буквы, если начинает собой сочетания, связанные с Рождеством как христианским праздником, с церковным календарем (т. е. имеющие прямую связь с религией), например: Рождественская звезда (библ.), Рождественская ночь, Рождественский пост, Рождественский сочельник. Но ср. написание строчными в таких сочетаниях: рождественские морозы, рождественские каникулы.

Правильно: о Виталии, Василии, Валерии. На конце слова в предложном падеже пишется И - такова особенность существительных, оканчивающихся на ие, ия, ий.

Правильно: Рождественские чтения (с прописной буквы как собственное наименование).

Словарь русских имён

Верно: Алитойтю.

Слово НАТО может употребляться как существительное мужского или среднего рода.

Да, возможно провести такую лингвистическую экспертизу, для чего нужно обратиться в экспертную организацию. 

Существуют оба варианта отчества.