Да, в такой конструкции уместно употребление как дательного (обеспечить (чему?) экономике и стабильности), так и родительного (развитие (чего?) экономики и стабильности) падежей.
Оба варианта возможны. Старшая грамматическая норма предписывает при отрицании использовать родительный падеж: не набрал большинства голосов.
Псевдоним, заканчивающийся на -а, склоняется (Р. п. — Мии Бойки).
Именительный падеж — я, родительный — меня, дательный — мне, винительный — меня, творительный — мной и мною, предложный — (обо) мне.
При появлении отрицания при глаголе падеж прямого дополнения, как правило, меняется с винительного на родительный (о чем писал еще Пушкин). Строгие нормы хорошей литературной речи требуют соблюдения этого правила. Однако в течение последнего столетия эти нормы испытывали сильное воздействие небрежной, полуграмотной речи, что отмечалось в академической грамматике еще в 1980 г. Современная литературная норма считает употребление, которое Вы защищаете, допустимым, но строгая норма никуда не пропала, поэтому лучшим вариантом является тот, который вы пытаетесь оспорить.
Значительно более подробно см. в статье «Какой падеж нужен при отрицании?», размещенной в «Письмовнике» на портале «Грамота.ру».
Корректно: горельеф/барельеф с изображением Пушкина.
Это родительный падеж множественного числа.
Составные порядковые числительные не являются синтаксическими конструкциями. Это единые именования, синтаксических связей внутри них нет.
В разговорных речениях типа тети-Катин разумнее всего видеть также единые наименования. В параграфе 129 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2008), регламентирующем дефисные написания прилагательных, читаем:
«3. [Пишутся через дефис] Прилагательные, образованные от сочетаний имени и фамилии, имени и прозвища, напр.: вальтер-скоттовский (Вальтер Скотт), жюль-верновский, ромен-роллановский, робин-гудовский, чайльд-гарольдовский, козьма-прутковский, чарли-чаплинский, а также прилагательные типа дяди-Стёпин, тёти-Валин...»
Соответственно, о синтаксических связях внутри таких прилагательных говорить также не приходится.
Что же касается именительного падежа и его конкуренции с творительным в тех случаях, когда существительное является именным компонентом сказуемого, ни о каком управлении или примыкании и, шире, ни о какой подчинительной связи говорить не приходится. Маркирование именного компонента сказуемого возможно как именительным, так и творительным падежом. При этом в зависимости от типа связки и даже от конкретной связки предпочтителен или именительный, или творительный падеж. В конструкциях именования предпочтителен как раз именительный падеж.
Действительно, слово мемориал в значении 'архитектурное сооружение, мемориальный комплекс' управляет дательным падежом: мемориал героям, мемориал жертвам политических репрессий. Однако, в соответствии с традицией, в устоявшихся названиях может использоваться родительный падеж: мемориал Джефферсона, мемориал принца Альберта.
Это родительный падеж: боится (кого?) медведя, боится (чего?) грозы.
