Правильно: Древний Рим (государство) и древний Рим (город).
По той же причине, что и в Италии Москву называют Mosca: любые заимствованные слова, в особенности собственные имена, претерпевают изменения, осваиваются в "новом" для себя языке. Исторические преобразования слова Рим описаны в этимологическом словаре Макса Фасмера. Приводим словарную статью:
index" id="selectionindex5">Этимологический словарь русского языка. — М.: Прогресс. М. Р. Фасмер. 1964—1973.
Верно: Сколько бы ты раз ни был в Риме, по-настоящему в Риме ты еще не был!
Мужская фамилия Римш склоняется.
В данном случае следует писать со строчной буквы.
Мы не выполняем домашние задания и задания олимпиад по русскому языку.
Следует писать с тире. Обратите внимание, что формулировка намусорил мимо небезупречна, эту часть предложения лучше изменить.
Тире ставится во всех указанных случаях, так как подлежащее и сказуемое выражены существительными. Условий для пропуска тире нет.
Если речь идет о двух категориях, верен первый вариант.