Рекомендуем такой вариант: передало в собственность Аургазинского муниципального района Республики Башкортостан.
Корректно дефисное написание, так как прилагательное образовано от названия населенного пункта, включающего имя и фамилию (Бободжан Гафуров). Ср.: Лев-Толстовский район (от названия поселка Лев Толстой). См. также правило (пункт 3).
Название района не склоняется в сочетании с родовым словом: депутат района Преображенское.
В значении приуроченности к какому-либо событию, празднику: ко Дню района. Подробнее см. в «Письмовнике».
Выбор формы зависит от контекста. Так, в официальных документах должность указывается в мужском роде, даже если речь идет о женщине: исполняющий обязанности главы района.
Сочетание на Дне может вызвать нежелательные ассоциации. Лучше написать: наградят в День района или на праздновании Дня района.
Следует писать с большой буквы: Анапский район.
Да, склоняется.
