Склоняется первое слово: к утреннему часу пик.
Нет, правильно только написание шпик.
Лучше использовать кавычки разного рисунка. Предпочтительно: Некоммерческая организация «ПИК "Строим вместе"». Допустимо: Некоммерческая организация "ПИК "Строим вместе".
Верно написание без кавычек.