Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.
Возможны оба варианта (с учетом контекстных различий).
Корректно: политологи ломают голову.
В роли сказуемого следует (предпочтительно) использовать краткое прилагательное: Корзина пуста.
По-русски говорят: болит голова, кружится голова. (Кстати, утверждают, что собственно мозг болеть не может, т. к. в мозгу нет болевых окончаний.)
Корректно: умереть с голоду (разг.), умереть от голода.
Ударение можно проверить в окне «Искать на Грамоте» (набрав кружиться).
Требуется согласование по смыслу. Голов много? Тогда: они приподняли головы.