Правильно: достигать чего-либо. Сотрудники достигают новых профессиональных высот.
Корректно: сдать экзмен этому преподавателю.
Верно: в процессе освоения профессиональных навыков.
Правильно: преподаватель какого-либо предмета. Например, преподаватель физики.
Сочетание с предлогом на неудачно. В официальной письменной речи используется такое наименование: профессиональный стандарт "Машинист бульдозера".
Оба выражения верны. Сочетания преподаватель школы, преподаватель лицея часто используются как официальные наименования лиц по профессии, а сочетания преподаватель в школе / в лицее — варианты, отмечающие место работы человека.