Правильно: Мы шли проливом Босфор.
Запятые до и после слов едущим сзади не требуются.
Верно: проходите в регистратуру. На регистратуру - разговорный вариант (на употребление предлога НА влияет сочетание "на стойке регистратуры" либо "проходите на регистрацию").