Выражение могло возникнуть на базе фольклорных песен. По образности это экспрессивное преуменьшение, основанное на невозможности кошачьего «плача». Коты не проливают слез, да еще в таком количестве, которое можно было бы измерить, отсюда значение фразеологизма: 'очень мало, крайне недостаточно'.
Правильно: на глаза навернулись слезы.
Правильно: слезы навернулись на глаза.
Правильно: попрощавшись, слезы спрячу в глубине.