Корректно: заглянуть в электронную почту; взглянуть на электронную почту.
Верен первый вариант.
Ущерб можно причинить или нанести.
Корректная пунктуация: Отправьте, пожалуйста, с Вашей почты письмо с темой "Тест" на нашу почту: support@...com.
Слово почта может использоваться во мн. ч., но в приведенном Вами примере такая форма не требуется.
Возможны оба варианта. Не совсем понятно, что здесь означают слова "по принадлежности вопроса".
Можно написать: отправлять по электронной почте, на адрес электронной почты.
Кавычки нужны: сотрудники "Почты России"...
Правильно именно на почту. Употребление предлогов на и в во многих случаях объясняется традицией. Употребление предлога на в сочетании с существительным почта объясняется тем, что первоначально понятие «почта» не связывалось с представлением о помещении или здании: почта когда-то была на почтовой станции, на которой содержали ямщиков и держали лошадей (ср.: на станцию).
