Предпочтительно не делать ни того ни другого :) Если серьезно, то вариант преступить закон более употребителен.
Кавычки не нужны: раскрытие преступлений по горячим следам.
Пишется слитно. Корректнее говорить об уровне преступности, если речь идет о количестве преступлений (или имеетеся в виду технический уровень совершения преступлений?).