Верно: попить чайку.
Верно: Можно я пойду попить воды?
Допустимы оба варианта: попить чая, попить чаю. Второй вариант более употребим в разговорной речи.
Оба варианта возможны.
Правильно: напиться (чего?) воды, молока... в знач. «выпить в большом количестве» и напиться (чем?) водой, квасом... в знач. «попить вдоволь, утолив жажду».