Верно: попытать счастье и попытать счастья; попытать (испытать) судьбу.
Нужно поставить тире между подлежащим и сказуемым.
Возможны оба варианта.
Затрудняемся назвать первоисточник. Факт, что эти слова - не из литературного языка.
Корректно: повышать в должности.
Нормативных указаний нет. Корректно: помазать мазью "Левомеколь". В разговорной речи возможно: помазать левомеколем. Отметим, что в медицинской литературе встречается сочетание повязка с левомеколем.
Побывать = посетить (побывать за рубежом). Побыть = быть некоторое время (побыть ответственным).