Правильно: полчаса.
Слова полдня и полчаса пишутся слитно. О правописании первой части сложных слов ПОЛ и ПОЛУ читайте в "Учебнике ГРАМОТЫ" на нашем портале (там же Вы найдете интерактивные упражнения по правописанию).
Верно: Не хватило именно этого получаса.
Так не говорят. Можно перефразировать: минут тридцать, примерно полчаса.
Лучше поставить тире: Полчаса — и мы там.
Скорее всего, да. Это нужно уточнить у автора текста.
Пол- ― корень, со словообразовательной точки зрения является результатом усечения основы производящего слова половина.
Элемент -у- в полу- является интерфиксом, подобным интерфиксам -о- и -е- в словах типа пароход, овощехранилище, большеглазый и т. п., которые в школьной практике называются соединительными гласными. Ср.: полубокс, полугодие, полумягкий и т. д.
Правильно писать и говорить: лягте.
Правильно: осталось (целых) полчаса.
