Корень: подушк-, окончание: -а.
Да, это однокоренные слова.
Газа – название территории на восточном побережье Средиземного моря. Это слово может употребляться самостоятельно, в таком случае оно склоняется как обычное существительное женского рода первого (по школьной грамматике) склонения: в пригороде Газы, ворвались в Газу, вывести войска из Газы. Со словом сектор название Газа не склоняется. Правильно: сектор Газа, в секторе Газа, вывести войска из сектора Газа.
Сделанный из частей растения гречихи - гречишный, приготовленный из зёрен гречихи или продуктов их обработки - гречневый.
В слове подушечка корень подушеч- и суффикс -к-. В корне чередование -к- // -еч-.
В «Русском орфографическом словаре» указано: сектор Газа, сектора Газа (Газа не склоняется).
Запятая не нужна, т. к. одиночный союз и соединяет однородные придаточные части сложноподчиненного предложения.
Эта фамилия должна склоняться. Вероятно, фамилию не просклоняли из-за того, что ударение падает на последний слог. Но это ошибка: из фамилий, оканчивающихся на -а, -я ударное, не склоняются только французские (Дюма, Золя).
