Верная форма: не допустить наличия задолженности. А лучше: не допустить задолженности.
В толковых словарях русского языка слово пустить в таком значении не зафиксировано, поэтому приведенное Вами сочетание некорректно.
Оба сочетание верны и употребляются в речи.
Корректно: нельзя допустить формирования...
Лучше все же писать в кавычках, чтобы избежать буквального прочтения.
Корректно: допустить к выборам, до выборов.