Лучше: подписаться под заявлением, расписаться на заявлении, поставить подпись в заявлении.
Правильно слитное написание. См. окно «Искать на Грамоте».
Вообще говоря, сочетание "родители первого класса" звучит странно. Лучше переформулировать: ученики первого класса и их родители.