Правильно: подать апелляцию.
Предпочтительно (особенно в письменной речи): рапорты. Вариант рапорта разговорный.
Запятая нужна: Не знаю, куда податься.
Верно: подать иск к кому-либо.
Правильно: Подать ходатайство председателю комиссии.
Использовать можно, но выражение может быть понято слушателем (читателем) неоднозначно в этом случае.
Оба варианта корректны.