Корректно: поддерживать под мышками, поддерживать за подмышки.
Кавычки не нужны.
Лучше: принять чью-либо сторону (в споре, конфликте).
Требуется раздельное написание.
Постановка запятой не обязательна в этом случае.
В данном случае инфинитив поддерживать (с зависимыми от него словами) — это «представляющая форма», которая называет то, на чем сосредоточивается внимание («Русская грамматика» 1980 г., т. 2, § 2675). Действительно, в практике письма она отделяется от основного высказывания с помощью тире.
Указанная запятая не требуется.
Корректная пунктуация: Согласно сообщениям ряда СМИ, организаторы нынешнего съезда будут поддерживать сына Гейдара Алиева – Ильхама – как будущего главу Азербайджана.
Запятая не нужна.