См. ответ на вопрос № 269786.
Первое слово стилистически нейтральное, второе — разговорное.
В значении "ухаживать" – подбивать клинья.
Правильно: подвизаться.
Лучше: подписаться под заявлением, расписаться на заявлении, поставить подпись в заявлении.
Употребительно: подняться на лифте, воспользоваться лифтом. Но: курить в лифте.
Под гору означает спускаться. Под гору – вниз, в гору – наверх.
Правильно с запятой: добиваться того, чего вы хотите.
Правильно слитное написание. См. окно «Искать на Грамоте».