Выбор зависит от смысла. Первая фраза означает, что найдена собака, а на ней был ошейник. Вторая может иметь такой смысл: найдена собака и ее ошейник, который не был на собаке.
Для точного ответа нужно знать контекст. Вне контекста лучше: идея подарка.
Верен первый вариант.
"Справка" не выполняет домашних заданий.
Нет, фраза некорректна.