Правильно: не плачь (повелительное наклонение, например: не плачь, малыш), но: не плач (имя существительное, например: это уже не плач – истерика).
Верно раздельное написание: на плаву.
В толковых словарях показано, что слово плав используется только в наречном сочетании на плаву. См. словарную фиксацию.
Пользуясь толковым словарем под редакцией Д. Н. Ушакова, нужно учитывать, что этот словарь издавался с 1935 по 1940 гг. Он отражает орфографию до принятия «Правил русской орфографии и пунктуации» 1956 г.
Правильно - с мягким знаком.
Можно считать это название именем собственным и писать с большой буквы.
Правильно: согласно утвержденному плану.
Вы правы. Следует писать со строчной.