Оба варианта верны.
Пожалуйста, воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте».
2. Правильно: на травУ, на дОску.
Пить – поглощать жидкость (самостоятельно); поить – давать пить кому-либо (поить больного, поить ребенка). Подробнее см. в словарях.
Возможны оба варианта.