Оба варианта возможны. См. в «Письмовнике»: Единственное и множественное число сказуемого.
Поскольку здесь сказуемое следует за подлежащим (см. § 2246 Русской грамматики 1980 г.), а также подчеркивается, что действующие лица были разные, необходимо множественное число сказуемого: И Антон, и Роман писали диссертацию.
Если речь идет о конкретном заявлении, о верно: Она не писала заявление.
Если говорится о каком-то заявлении вообще, то верно: Она не писала заявления.
Между частями сложного предложения запятая не нужна, так как части объединены общим обстоятельством вчера.
Фамилии склоняются.
ИА - это информационное агентство? Тогда верно: писало.
Ваш вопрос неясен: в примере глагол стоит в форме прошедшего времени.
Верно: Куда мы только ни писали жалобы, а результата все нет!