Правильно: Древний Рим (государство) и древний Рим (город).
Правильно: Римка. Вместо двойной согласной пишется одна согласная буква в уменьшительных и фамильярных формах личных имен с суффиксом -к(а).
Нормативны оба варианта.
Верно: две телефонные линии.
Верно с одной Н.
Верно: сообщает, так как главное слово в названии организации – агентство.
В данном случае следует писать со строчной буквы.