В большинстве словарей русского языка эти варианты даны как равноправные. И только в некоторых изданиях предпочтение отдается варианту строгать, а глагол стругать зафиксирован как разговорный.
Верно: между пальцами вырастут перепонки. Второй вариант устаревший.
Да, нужно.
Верно: между пальцами; меж пальцами и меж пальцев.
Оба варианта возможны, есть разница в значении: употребление предлога на подчеркивает, что речь идет о поверхности. Ср.: лечь в кровать и уснуть – лечь на кровать в одежде.
Лучше: палец, пальцем.