Корректно: "фабрика грез".

В словарях русского языка: впавший. Но впадший трудно счесть ошибкой (скорее - славянизм).

Правилен второй вариант.

Да, это слово нужно склонять как существительное первого школьного склонения (как слово монета).

Такое сочетание вряд ли корректно называть фразеологизмом.

Это предложение корректно.

Слова грамота и грамматика пишутся по-разному, потому что пришли в русский язык в разное время и разными путями. Грамота – это очень старое заимствование из греческого языка. В греческом было слово gramma, означавшее «письменный знак», «буква». У этого слова была форма множественного числа grammata – то есть «буквы», «письмо». Вот это форма и стала нашей грамотой: мы немного изменили греческое слово на свой лад. А слово грамматика пришло к нам намного позже, в XVIII веке, из латинского языка. Оно тоже, конечно же, восходит к греческим словам grammata, grammatike, но в латинском языке сохранились две буквы «м».