Правильно написание со строчной: палата представителей, палата лордов, палата общин.
Верно: Общественная палата.
Ударение на первом слоге: палата общин.
Первое слово названия пишется с большой буквы: Торгово-промышленная палата ЯНАО.
Возможны варианты написания: Рег. палата (графическое сокращение, произносится полностью) и Регпалата (аббревиатура, произносится сокращенно).