Корректно: позволит клиентам оставаться с вами.
Лучше: оставлять на усмотрение.
Глаголы остаться и оставаться различаются видом, что отражается и в их значениях. Остаться — глагол совершенного вида, обозначает факт завершенного действия, указывает на достижение результата (хотя бы в данный момент), например, когда после происшествия или события кто-то остался живым. Оставаться — глагол несовершенного вида, указывает на длительность или привычное состояние, например, когда кто-то продолжает быть живым в течение какого-либо времени.
В предложении Сила тяжести заставляет воду оставаться на месте подлежащее сила тяжести (поскольку это термин, его нельзя воспринимать как словосочетание, это единая номинация), сказуемое — заставляет. Инфинитив оставаться в сказуемое не входит, так как он обозначает действие не субъекта (обозначенного подлежащим), а объекта (воду). Объектный инфинитив никогда не входит в сказуемое и является дополнением.
Следует поставить тире: Каково это было — оставаться одному?
Запятая не требуется: Но всё же лучше таким людям оставаться в памяти.
Запятая не нужна.
Да, правильно слитное написание: с одиночными причастиями не пишется слитно.
Запятые в приведенном Вами предложении не нужны.
