Корректно: орден Мужества.
Да, мужское имя Аюр надо склонять.
Оба варианта корректны и означают одно и то же: человек, награжденный орденом Мужества два раза. Разница между ними заключается в стилистической окраске: первый вариант (дважды кавалер ордена Мужества) может быть использован в официально-деловом стиле, а второй (кавалер двух орденов Мужества) звучит более разговорно и неформально.
В академическом орфографическом словаре, размещенном на ресурсе «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН, зафиксировано: Мальтийский орден. По аналогии корректно писать и Доминиканский орден.
Словарная рекомендация такова:
орден 1, -а, мн. -а, -ов (знак отличия)
орден 2, -а, мн. -ы, -ов и -а, -ов (организация; архит.)
См. в окне «Искать на Грамоте».
Запятая не требуется. Кавалер ордена Мужества и капитан — неоднородные приложения.
Вы написали верно: орден Русской православной церкви.
Словарная фиксация: Мальтийский орден.