Правильно: Дом культуры «Олимп».
В данном случае - со строчной буквы.
Орфографический словарь
Большой толковый словарь
В значении 'избранный круг; верхушка какого-либо общества' олимп пишется со строчной. Правильно: на политическом олимпе.
Слово олимп в знач. 'избранный круг, верхушка какого-либо общества' пишется строчными. Кавычки не нужны: политический олимп.
Вряд ли такое словоупотребление корректно. В данном контексте верно написание со строчной буквы.
Собственное условное наименование "Олимп" нужно заключить в кавычки: ПКТС "Олимп". Подробно об оформлении на письме собственных наименований см. в рубрике "Письмовник":
Как правильно употреблять кавычки (часть первая)
Как правильно употреблять кавычки (часть вторая)
Как правильно употреблять кавычки (часть третья)
Если речь о междометии, то строгой орфографической нормы нет, возможны оба варианта. Чаще употребляется вариант хей.
1. Правильно со строчной. 2. Корректно: меча громы и молнии.
Слова "медицинская комиссия" нужно писать строчными буквами.