Правильно: лондонская Олимпиада, сочинская Олимпиада, московская Олимпиада.
Такая замена корректна, только если "национальный" имеет значение "относящийся к данной стране, государству", а соответствующая страна является республикой.
Это, скорее всего, языковая калька: такой способ произнесения дат есть в английском языке. Насколько эта калька окажется удачной - покажет время.
Как название организации сочетание нужно писать в кавычках.
Слова зимний и летний в названиях Олимпийских игр пишутся строчными. Цифры лучше оставить римские. Корректно: XXXI летняя Олимпиада.
Вы имеете в виду Всероссийскую олимпиаду школьников? С большой буквы.
Можно написать: Евроолимпиада (хотя такое название не вполне корректно само по себе).
Следует перестроить сочетание, например: зимняя Олимпиада в Сочи в 2014 году.
Необходимо тире с пробелами: летняя Олимпиада – 2008; Лыжня России – 2008.
Правильно: Берлинская Олимпиада 1936 года.