Нормативно: родом с Кубани. Это исторически сложившийся вариант предложного управления.
Слово Кубань (и как название реки, и как название региона) во всех случаях пишется с прописной буквы.
Сруб бани, сруб для бани - корректно. Сруб на баню - менее употребительно.
Названия рек женского рода склоняются в сочетании со словом река: на реке Кубани.
Нормативно: на Кубани. Это исторически сложившийся вариант предложного управления.
Второй вариант предпочтителен.
В образцовой литературной речи названия городов склоняются в сочетании со словом город: лицей города Лобни. Но в официальных документах название должно указываться в соответствии с тем, как оно зарегистрировано.