Правильно: поступать в бакалавриат, в магистратуру. Сочетания продолжают ряд поступать в лицей, в техникум, в институт, в университет, в вуз, в аспирантуру, в докторантуру, в академию.
Правильно с запятой: Надумал, куда поступать будешь?
Глагол собираюсь стоит в форме настоящего времени.
Да, в определенном контексте.
См. ответ 252670.