Имеется в виду существительное отгул (отпуск за сверхурочную работу)? Множественное число: отгулы.
Это общее слово для двух частей сложного предложения.
Вряд ли проблема может "ставить" что-либо "во главу угла. Слишком витиеватый оборот речи.
Здравствуйте. Скоро они снова появятся :)
В первом случае кавычки обязательны. В последующих вариантах постановка кавычек зависит от конкретного названия.