Все варианты правильны. Ногти можно и остричь, и постричь, и подстричь.
Верно: наращённые ногти, волосы.
Верно раздельное написание: сойти с ума.
Возможны оба варианта, но лучше склонять.
Верно дефисное написание.
Это название следует писать в кавычках.
Существует термин "буквенное наращение": когда мы пишем число цифрами и буквами: 6-е, в 5-м, из 20-го и т. д. В иных случаях о "наращивании" букв обычно не говорят.