Эти определения можно рассматривать как однородные и разделить запятой.
Грамматически корректно: уравнение имеет n+1 решение, n+1 режим.
Как можно заметить по представленным примерам, выбор предлога зависит от используемого глагола. Нужно уточнять глагольное управление (т. е. выбор предлога) в словаре, в словарной статье, посвященной соответствующему глаголу.
Оба варианта возможны, но первый более употребителен.
В этой аббревиатуре "правила" в форме мн. ч., поэтому верно: новые.
Верно: Пусть новый, 2017 год... и Пусть новый, 2017-й... (без год).
Возможно: режим "мячик" или режим мячика. В остальных примерах написание без кавычек корректно.
Варианты равноправны.
При существительных женского рода, зависящих от числительных два, три, четыре, определение, находящееся между числительным и существительным, чаще стоит в форме именительного падежа множественного числа. Грамматически правильно: две (три, четыре) новые новости. Сочетания, построенные по модели две (три, четыре) новых новости, возможны тоже. Обратите внимание: оборот новая новость тавтологичен.
