Верно: он занимался черт-те чем.
Такое употребление некорректно. Это прилагательное употребляется только в составе фразеологизма краеугольный камень.
Если косая черта соединяет два слова, то пробелы до и после черты не ставятся. Но в Вашем предложении косую черту нужно заменить на союз или. О функциях косой черты подробно написано в Полном академическом справочнике под ред. В. В. Лопатина.