Все знаки препинания расставлены верно.
Это выражение употребляется в значении: мысль, способ и т. п., помогающие разобраться в сложной обстановке, найти выход из какой-либо трудной, запутанной ситуации. Выражение возникло из древнегреческого мифа о Тезее, убившем Минотавра. Дочь критского царя Ариадна дала Тезею клубок ниток, чтобы он мог найти выход из лабиринта.
Форма р. п. мн. ч. существительного нить - нИтей.
Слово НАТО может употребляться как существительное мужского рода и как существительное среднего рода.
Оба варианта возможны.