Если речь идет о Сергее Агаджаняне, то можно писать Русский Халк, потому что это сочетание закрепилось как личное прозвище. Однако это не означает, что написание русский Халк ошибочно, оно еще может осознаваться пишущими и употребляться как метафоричный описательный оборот. Кавычки возможны в контекстах, в которых прозвище вводится как цитата, например кавычки допустимы во фразе: получил прозвище «Русский Халк».

По основному правилу тире не требуется.

Предпочтительно раздельное написание.

Оба варианта написания возможны.

Это значит, что русский язык не является родным и изучается в качестве второго или, например, третьего языка.

Оба варианта возможны, употребление родительного падежа преобладает.

Приведенные Вами фразы, безусловно, корректны. Слово русский употребляется не только по отношению к русским по национальности. Одно из значений слова русский, зафиксированных в «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой, – 'относящийся к русскому народу, к его языку, национальному характеру, образу жизни, культуре, а также к России, ее территории, внутреннему устройству, истории; такой, как у русских, как в России'.