Топонимы со словом посёлок обычно не склоняются. Верно: на Дне посёлка Маяк.

Правильно: маякИ.

Фа́росский — таким могло быть произношение прилагательного, образованного от названия средиземноморского острова Фа́рос. Тем не менее известный с античных времен Александрийский маяк историки именуют Фаро́сским. Прилагательное фаросский не отражено, к сожалению, в известных нам лингвистических словарях (в отличие от форо́сский). Можно учитывать произносительные тенденции в русском языке: обычно в прилагательных, образованных от топонимов (существительных мужского рода), ударение ставится на том же слоге, что и в производящем имени. В отдельных прилагательных ударение может ставиться на другом слоге: например, если топоним произносится с двояким ударением (ср. си́дне́йский) либо производное слово, как и топоним, состоит из нескольких слогов (ср. название древнего архангельского города Ка́ргополь и прилагательное каргопо́льский). Однако в обсуждаемом случае свою роль сыграла речевая традиция, имеющая отношение к терминологии специалистов по античной истории: прилагательное фаро́сский, так же как прилагательные дело́сский, лесбо́сский, мило́сский, родо́сский, восходящие к греческим топонимам, произносятся с ударением на втором слоге (под влиянием французского языка).

В «Школьном этимологическом словаре» говорится, что слово маяк образовано от слова маять, которое означало «махать, колыхаться». Исходное значение слова маяк — «нечто, чем машут в качестве знака», «веха, указывающая путь».

Специального правила нет, однако постановка кавычек представляется уместной.

14 мая еще можно купить билет.

По аукционам, проведенным после 4 мая... = по аукционам, которые были проведены 5 мая и позже. По аукционам, проведенным после 5 мая... = по аукционам, которые были проведены 6 мая и позже. 

Корректно: путешествие на каяке́. 

Перед словами, начинающимися с сочетаний [с, з, ш, ж + согласный], употребляется предлог со. Правильно: Марк со Златой. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».