Написание слов можно проверять в окне «Искать на Грамоте»: нейроциркуляторный.
1. Раздельно.
2. Слитно.
3. Правильно: псевдо-Гиппократ.
4. Запятая нужна.
5. Названия культовых книг и памятников письменности пишутся с прописной буквы без кавычек.
Вторая запятая некорректна, так как она разделяет подлежащее и сказуемое.
Академическая грамматика («Русская грамматика», т. I, М., 1980 г., § 555, § 756) описывает слова типа нейросеть, нейролингвистический, нейроанатомия, нейрохирургия и т. п. как cложные слова с подчинительным (неравноправным) отношением основ. Они содержат опорный компонент (существительное или прилагательное) и связанную усеченную основу нейро- (← нейронный) с конкретизирующей функцией. Компонент нейро- нечленим и представляет собой корень, хотя многие сложения такого типа могут включать в себя интерфиксы (соединительные гласные), ср.: гели-о-терапия (гели- ← гелий).
